2025 秋季, 泛函分析
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助教: 黄思睿 王昱仁
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Office hour: 鉴于固定的office hour时间段通常没有同学来,因此本课程不设置固定的office hour。欢迎单独约时间。
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办公室: 双清综合楼A座C648
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给分方式: 10%出勤 + 40%作业 + 50%期末(暂定)
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作业格式: 中文和英文皆可。每次作业请把所有解答合并为一个单独的pdf文件之后上传到网络学堂-课程作业。为了便于助教批改作业,请不要上传多个文件,请字迹尽量清晰,我们鼓励用LaTeX写作业。网络上很容易找到把多个pdf文件合并为单个文件的网页,例如这个。
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本课程假设大家了解基本的点集拓扑和测度论结论,这些结论会在课程讲义(见下)的第一章中回顾。这些结论的证明可以在常见的教材中(例如Munkres的拓扑书,Folland或者Rudin的实分析书中)找到。本课程讲义主要引用 Qiuzhen Lectures on Analysis
Lecture notes (in English)
讲义中靠后的内容未经校对,因此可能包含笔误和数学错误,也可能以后会有结构和内容上的调整。目前已经校对至:第三章结束
课程主题
按照讲授顺序和讲义顺序,本课程涵盖的几大主题如下:
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赋范空间的对偶空间与弱*拓扑
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Hilbert空间上的有界自伴算子和正规算子的谱理论
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Hilbert空间上的无界自伴算子的谱理论
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Hilbert空间上的无界自伴算子的构造和验证方法
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紧算子,具有紧resolvent的无界自伴算子
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赋范空间的凸性,Hahn-Banach定理
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Baire纲,Banach空间上的一致有界定理(若时间够)
参考书
本课程及讲义会参考许多经典的泛函分析教材,但风格和理念与所有的书都保持了一定距离。因此,在讲义编写完成之前,并没有与本课程理念完全适配的教材可供预习。即便如此,如果让我推荐一本泛函分析教材,那么从教材的篇幅、节奏、主题的明晰程度、线索的简洁明快、概念上不装神弄鬼不念经唬人、与现代的数学专业课程设置的匹配性……等各方面因素考虑,我会首先推荐的是:
- Methods of Modern Mathematical Physics, I: Functional Analysis. By Reed and Simon
另外,课程涵盖的数学理论与求真前几个学期的泛函分析课程相差不大。大家也可自行寻找兰洋或吴劲松老师的讲义作为参考和预习。
Schedule
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9/16 矩问题与刻画对偶空间的关联,(多重)线性映射的有界性、连续性、算子范数,有界(多重)线性映射由其在稠密线性子空间上的取值决定,矩问题的函数逼近背景
讲义章节:2.2.1-2.2.2,2.3,2.4(部分)
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9/19 一致有界的(多重)线性映射的逐点收敛性由其在稠密子空间上的收敛决定,l^p上的弱星收敛,弱星收敛收敛等价于矩阵收敛,弱星收敛与逐点收敛的联系,有界线性泛函被基本函数弱星逼近,用逼近论来证明对偶空间刻画定理(以Riesz-Fischer定理为例),Dirac测度线性组合的弱星稠密性(知道有这件事即可),从有限逼近到线性扩张的转换
讲义章节:2.2.3-2.2.5,2.4,2.7.1(只介绍主要结论,证明留待自行阅读),2.8,2.10.2(粗略提到)
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9/23 对偶结构vs柯西完备性,双线性形vs线性算子,完备性作为codomain的条件如何使用,Stieltjes积分,分布函数的几乎相等与Stieltjes积分相等的等价性,分布函数的几乎收敛与Stieltjes积分的弱星收敛的等价性
讲义章节:2.5,1.8,1.9,2.9
注:关于分布函数和Stieltjes积分的讨论,在课上我们仅限于紧区间的情形。讲义上出于完备性的考虑,涵盖了所有类型的区间。我们对一般区间的情况不做要求,有兴趣的同学自行阅读即可。
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9/26 网收敛,Cauchy网,拓扑空间的Hausdorff性、闭包、连续映射、同胚的网刻画,子网,网的聚点,紧性与聚点的关系
讲义章节:1.2.1-1.2.3,1.3.1
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