2025 秋季, 泛函分析

• 助教: 黄思睿 王昱仁

• Office hour: 鉴于固定的office hour时间段通常没有同学来，因此本课程不设置固定的office hour。欢迎单独约时间。

• 办公室: 双清综合楼A座C648

• 给分方式: TBD

• 作业格式: 中文和英文皆可。每次作业请把所有解答合并为一个单独的pdf文件之后上传到网络学堂-课程作业。为了便于助教批改作业，请不要上传多个文件，请字迹尽量清晰，我们鼓励用LaTeX写作业。网络上很容易找到把多个pdf文件合并为单个文件的网页，例如这个。

• 本课程假设大家了解基本的点集拓扑和测度论结论，这些结论会在课程讲义（见下）的第一章中回顾。这些结论的证明可以在常见的教材中（例如Munkres的拓扑书，Folland或者Rudin的实分析书中）找到。本课程讲义主要引用 Qiuzhen Lectures on Analysis

Lecture notes (in English)

• 正式版：TBA

正式版经过proofread，错误较少，且内容不会大改，但进度与草稿版相比较落后。正式版会在每次课后更新，讲义进度与课上的进度基本保持一致，从而便于大家复习课上内容。

• 抢先版

与正式版相比，抢先版的进度较新。但多出的内容未经proofread，因此错误可能较多，并且后续也有可能有重大调整。抢先版的目的在于让大家事先了解我接下来会讲/写什么内容，便于大家预习。

课程主题

按照讲授顺序和讲义顺序，本课程涵盖的几大主题如下：

1. 赋范空间的对偶空间与弱*拓扑

2. Hilbert空间上的有界自伴算子和正规算子的谱理论

3. Hilbert空间上的无界自伴算子的谱理论

4. Hilbert空间上的无界闭算子的一般理论

5. 从Hilbert空间上的全连续（半）双线型到Banach空间上的紧算子：对角化理论，Riesz-Schauder理论

6. 赋范空间的凸性，Hahn-Banach定理

7. Baire纲，Banach空间上的一致有界定理

参考书

本课程及讲义会参考许多经典的泛函分析教材，但风格和理念与所有的书都保持了一定距离。因此，在讲义编写完成之前，并没有与本课程理念完全适配的教材可供预习。即便如此，如果让我推荐一本泛函分析教材，那么从教材的篇幅、节奏、主题的明晰程度、线索的简洁明快、概念上不装神弄鬼不念经唬人、与现代的数学专业课程设置的匹配性……等各方面因素考虑，我会首先推荐的是：

• Methods of Modern Mathematical Physics, I: Functional Analysis. By Reed and Simon

另外，课程涵盖的数学理论与求真前几个学期的泛函分析课程相差不大。大家也可自行寻找兰洋或吴劲松老师的讲义作为参考和预习。

Schedule

TBD