2025 秋季, 泛函分析

• 助教: 黄思睿 王昱仁

• Office hour: 鉴于固定的office hour时间段通常没有同学来，因此本课程不设置固定的office hour。欢迎单独约时间。

• 办公室: 双清综合楼A座C648

• 给分方式: 10%出勤 + 35%作业 + 55%期末（最终版，2025/10/16）

• 作业格式: 中文和英文皆可。每次作业请把所有解答合并为一个单独的pdf文件之后上传到网络学堂-课程作业。为了便于助教批改作业，请不要上传多个文件，请字迹尽量清晰，我们鼓励用LaTeX写作业。网络上很容易找到把多个pdf文件合并为单个文件的网页，例如这个。

• 本课程假设大家了解基本的点集拓扑和测度论结论，这些结论会在课程讲义（见下）的第一章中回顾。这些结论的证明可以在常见的教材中（例如Munkres的拓扑书，Folland或者Rudin的实分析书中）找到。本课程讲义主要引用 Qiuzhen Lectures on Analysis

Lecture notes (in English)

• Qiuzhen Lectures on Functional Analysis

讲义中靠后的内容未经校对，因此可能包含笔误和数学错误，也可能以后会有结构和内容上的调整。目前已经校对至：第7.2节结束

课程主题

按照讲授顺序和讲义顺序，本课程涵盖的几大主题如下：

1. 赋范空间的对偶空间与弱*拓扑

2. Hilbert空间上的有界自伴算子和正规算子的谱理论

3. Hilbert空间上的无界自伴算子的谱理论

4. Hilbert空间上的无界自伴算子的构造和验证方法

5. 紧算子，具有紧resolvent的无界自伴算子

6. 赋范空间的凸性，Hahn-Banach定理

7. Baire纲，Banach空间上的一致有界定理（若时间够）

参考书

本课程及讲义会参考许多经典的泛函分析教材，但风格和理念与所有的书都保持了一定距离。因此，在讲义编写完成之前，并没有与本课程理念完全适配的教材可供预习。即便如此，如果让我推荐一本泛函分析教材，那么从教材的篇幅、节奏、主题的明晰程度、线索的简洁明快、概念上不装神弄鬼不念经唬人、与现代的数学专业课程设置的匹配性……等各方面因素考虑，我会首先推荐的是：

• Methods of Modern Mathematical Physics, I: Functional Analysis. By Reed and Simon

另外，课程涵盖的数学理论与求真前几个学期的泛函分析课程相差不大。大家也可自行寻找兰洋或吴劲松老师的讲义作为参考和预习。

Schedule

• 9/16 矩问题与刻画对偶空间的关联，（多重）线性映射的有界性、连续性、算子范数，有界（多重）线性映射由其在稠密线性子空间上的取值决定，矩问题的函数逼近背景

  讲义章节：2.2.1-2.2.2，2.3，2.4（部分）

• 9/19 一致有界的（多重）线性映射的逐点收敛性由其在稠密子空间上的收敛决定，l^p上的弱星收敛，弱星收敛收敛等价于矩阵收敛，弱星收敛与逐点收敛的联系，有界线性泛函被基本函数弱星逼近，用逼近论来证明对偶空间刻画定理（以Riesz-Fischer定理为例），Dirac测度线性组合的弱星稠密性（知道有这件事即可），从有限逼近到线性扩张的转换

  讲义章节：2.2.3-2.2.5，2.4，2.7.1（只介绍主要结论，证明留待自行阅读），2.8，2.10.2（粗略提到）

• 9/23 对偶结构vs柯西完备性，双线性形vs线性算子，完备性作为codomain的条件如何使用，Stieltjes积分，分布函数的几乎相等与Stieltjes积分相等的等价性，分布函数的几乎收敛与Stieltjes积分的弱星收敛的等价性

  讲义章节：2.5，1.8，1.9，2.9

  注：关于分布函数和Stieltjes积分的讨论，在课上我们仅限于紧区间的情形。讲义上出于完备性的考虑，涵盖了所有类型的区间。我们对一般区间的情况不做要求，有兴趣的同学自行阅读即可。

• 9/26 网收敛，Cauchy网，拓扑空间的Hausdorff性、闭包、连续映射、同胚的网刻画，子网，网的聚点，紧性与聚点的关系

  讲义章节：1.2.1-1.2.3，1.3.1

• 9/28 网的上下极限，紧空间内网收敛等价于聚点唯一，弱星拓扑，乘积拓扑的网收敛刻画，Banach-Alaoglu定理，弱星收敛的Fatou引理，可分赋范空间的对偶空间单位球是弱星可度量/第二可数的（因此是列紧的），sesquilinear form的基本性质，内积空间，共轭内积空间，（标准）正交向量，毕达哥拉斯等式

  讲义章节：1.3.2，1.4.3，2.6，3.1，3.2，3.3.1（部分）

• 9/30 Bessel不等式，正交分解，投影算子，正交直和，标准正交基，Parseval等式，Hilbert空间的等价刻画，Hilbert空间关于闭线性子空间存在投影算子，Riesz-Frechet定理，有界线性算子与有界sesquilinear form等价，伴随矩阵，有界sesquilinear form的复合

  讲义章节：3.3，3.4，3.5.1-3.5.3，3.5.4（部分）

• 10/14 乘法运算L(V)×L(V)–>L(V)的算子范数⩽1，有界算子的resolvent，有界矩阵与有界sesquilinear form的等价性，乘法结合律涉及的无穷和交换性问题，内积空间的弱收敛，SOT和WOT，SOT收敛的算子的复合，Riesz表示定理与谱理论之关系的初步介绍

  讲义章节：3.5.4，3.5，3.6，3.7

• 10/17 Stieltjes用连分数研究发散级数并定义出Stieltjes积分的历史，多项式矩问题来源于发散级数，Hankel矩阵H及其导出矩阵H’、以及其线性代数意义，Hamburger/Stieltjes/Hausdorff矩问题可解的充要条件，必要条件的证明，Hankel矩阵退化情形利用有限矩阵对角化解矩问题，非退化情形利用Hermitian operator的有限逼近求解（刚做了介绍）

  讲义章节：4.1，4.2.1-4.2.5，4.2.6（刚开始）

• 10/21 利用Hermitian operator的有限逼近来给出矩问题的近似解，通过取子列找到原本矩问题的解，Hermitian operator的有限逼近的resolvent给出了对应发散级数的Pade approximation，矩问题/发散级数中的系数(c_n)与连分数中的系数(a_n) (b_n)如何关联，正线性泛函的有界性

  讲义章节：4.2.6-4.2.8，4.3，4.4，4.5（部分）

  注：4.3和4.4节课上只讲了上述提及的结论，并没有讲该结论的证明和以及其它辅助性结论。感兴趣的同学可以自行阅读讲义。

• 10/24 稠密子代数上的正线性泛函的唯一扩张，Riesz表示定理的有限逼近证明，Hilbert谱定理，投影算子的代数刻画与几何刻画的等价性，normal positive linear functional，Riesz-Markov表示定理

  讲义章节：4.5，5.1，5.2，5.3（部分）

• 10/28 Radon测度的定义，Stone-Weierstrass定理的表述，抽象Hausdorff矩定理，Riesz谱定理的表述，星代数的酉表示，正酉表示，normal酉表示，universal L^2 topology，有界Borel函数代数里的universal L^2-稠密星子代数，算子值抽象Hausdorff矩问题（除保乘法外已证完）

  讲义章节：5.3，5.4，5.5.1，5.5.2，5.5.3（部分）

• 10/31 算子值抽象Hausdorff矩问题（保乘法的证明），函数的universal L2收敛推出算子的SOT收敛，函数的一致收敛推出算子的算子范数收敛，有界自伴算子的函数演算，Riesz谱定理证明完成，多个可交换有界自伴算子的函数演算，有界算子的adjoint commutativity，正规算子，酉算子是正规算子，测度的support，表示的support

  讲义章节：5.5.3-5.5.5，5.7.1，5.7.1，5.7.3（部分）

• 11/4 酉算子可交换推出伴随交换，Borel函数演算限制在support上，伴随交换的有界正规算子的Borel函数演算，联合谱上函数的收敛性推出算子的收敛性，Borel函数演算的复合法则，Borel函数演算刻画特征子空间的投影算子，联合谱是每个算子的谱的乘积的子集，谱等价于近似特征值，正算子、自伴算子、酉算子的谱，Hilbert空间的（无穷）直和

  讲义章节：5.7.3，5.8，5.9（略微提到，作为酉算子谱的应用），5.10.1（部分）

• 11/7 有界算子的直和，Hilbert空间及其有界算子的直和分解，酉表示的直和分解，循环表示，每个酉表示都是循环表示的直和，循环表示酉等价于L^2表示，乘法算子形式的谱定理，乘法算子形式中的Borel函数演算和谱的刻画、量子力学的基本数学图景、连续正交分解的困境、可观测量谱分解的严格数学形式

  讲义章节：5.10，6.1.1-6.1.4

• 11/11 谱的量子力学含义（关于任意精度内的测量），无界算子的四则运算，Hermite算子的基本例子，乘法算子，无界算子的逆算子，处处可定义的有界逆，Cayley变换及其逆变换，Hermite算子与等距映射之间的对应关系

  讲义章节：6.1.5，6.1.6，6.2，6.3.1，6.3.2

  注意：我们课上所说的Hermitian operator，很多数学教材里称为symmetric operator. 我们选用Hermitian operator这一称呼不只是为了和von Neumann本人的术语相匹配，也是为了和矩阵（对称矩阵 vs Hermite矩阵）以及型（对称双线性型 vs Hermite型）的术语相匹配。在我看来，用symmetric这个词来指称涉及复数共轭的对称性，这种术语命名方式是非常糟糕的。

• 11/14 无界算子闭包=逆Cayley变换(有界算子在定义域闭包上的延拓)，算子图，闭算子，可闭算子，算子的核，图的Cayley变换，亏指标刻画Hermite算子的扩张，图的伴随，闭包=二次伴随，图稠定=伴随图单值（未讲证明）

  讲义章节：6.3.3，6.4，6.5，6.6.1（大部分）

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