2025 秋季, 泛函分析

助教: 黄思睿王昱仁
Office hour: 鉴于固定的office hour时间段通常没有同学来，因此本课程不设置固定的office hour。欢迎单独约时间。
办公室: 双清综合楼A座C648
给分方式: 10%出勤 + 35%作业 + 55%期末（最终版，2025/10/16）
作业格式: 中文和英文皆可。每次作业请把所有解答合并为一个单独的pdf文件之后上传到网络学堂-课程作业。为了便于助教批改作业，请不要上传多个文件，请字迹尽量清晰，我们鼓励用LaTeX写作业。网络上很容易找到把多个pdf文件合并为单个文件的网页，例如这个。
本课程假设大家了解基本的点集拓扑和测度论结论，这些结论会在课程讲义（见下）的第一章中回顾。这些结论的证明可以在常见的教材中（例如Munkres的拓扑书，Folland或者Rudin的实分析书中）找到。本课程讲义主要引用 Qiuzhen Lectures on Analysis

Lecture notes (in English)

Qiuzhen Lectures on Functional Analysis

讲义中靠后的内容未经校对，因此可能包含笔误和数学错误，也可能以后会有结构和内容上的调整。目前已经校对至：第5.4节结束

课程主题

按照讲授顺序和讲义顺序，本课程涵盖的几大主题如下：

赋范空间的对偶空间与弱*拓扑
Hilbert空间上的有界自伴算子和正规算子的谱理论
Hilbert空间上的无界自伴算子的谱理论
Hilbert空间上的无界自伴算子的构造和验证方法
紧算子，具有紧resolvent的无界自伴算子
赋范空间的凸性，Hahn-Banach定理
Baire纲，Banach空间上的一致有界定理（若时间够）

参考书

本课程及讲义会参考许多经典的泛函分析教材，但风格和理念与所有的书都保持了一定距离。因此，在讲义编写完成之前，并没有与本课程理念完全适配的教材可供预习。即便如此，如果让我推荐一本泛函分析教材，那么从教材的篇幅、节奏、主题的明晰程度、线索的简洁明快、概念上不装神弄鬼不念经唬人、与现代的数学专业课程设置的匹配性……等各方面因素考虑，我会首先推荐的是：

Methods of Modern Mathematical Physics, I: Functional Analysis. By Reed and Simon

另外，课程涵盖的数学理论与求真前几个学期的泛函分析课程相差不大。大家也可自行寻找兰洋或吴劲松老师的讲义作为参考和预习。

Schedule

9/16 矩问题与刻画对偶空间的关联，（多重）线性映射的有界性、连续性、算子范数，有界（多重）线性映射由其在稠密线性子空间上的取值决定，矩问题的函数逼近背景

讲义章节：2.2.1-2.2.2，2.3，2.4（部分）
9/19 一致有界的（多重）线性映射的逐点收敛性由其在稠密子空间上的收敛决定，l^p上的弱星收敛，弱星收敛收敛等价于矩阵收敛，弱星收敛与逐点收敛的联系，有界线性泛函被基本函数弱星逼近，用逼近论来证明对偶空间刻画定理（以Riesz-Fischer定理为例），Dirac测度线性组合的弱星稠密性（知道有这件事即可），从有限逼近到线性扩张的转换

讲义章节：2.2.3-2.2.5，2.4，2.7.1（只介绍主要结论，证明留待自行阅读），2.8，2.10.2（粗略提到）
9/23 对偶结构vs柯西完备性，双线性形vs线性算子，完备性作为codomain的条件如何使用，Stieltjes积分，分布函数的几乎相等与Stieltjes积分相等的等价性，分布函数的几乎收敛与Stieltjes积分的弱星收敛的等价性

讲义章节：2.5，1.8，1.9，2.9

注：关于分布函数和Stieltjes积分的讨论，在课上我们仅限于紧区间的情形。讲义上出于完备性的考虑，涵盖了所有类型的区间。我们对一般区间的情况不做要求，有兴趣的同学自行阅读即可。
9/26 网收敛，Cauchy网，拓扑空间的Hausdorff性、闭包、连续映射、同胚的网刻画，子网，网的聚点，紧性与聚点的关系

讲义章节：1.2.1-1.2.3，1.3.1
9/28 网的上下极限，紧空间内网收敛等价于聚点唯一，弱星拓扑，乘积拓扑的网收敛刻画，Banach-Alaoglu定理，弱星收敛的Fatou引理，可分赋范空间的对偶空间单位球是弱星可度量/第二可数的（因此是列紧的），sesquilinear form的基本性质，内积空间，共轭内积空间，（标准）正交向量，毕达哥拉斯等式

讲义章节：1.3.2，1.4.3，2.6，3.1，3.2，3.3.1（部分）
9/30 Bessel不等式，正交分解，投影算子，正交直和，标准正交基，Parseval等式，Hilbert空间的等价刻画，Hilbert空间关于闭线性子空间存在投影算子，Riesz-Frechet定理，有界线性算子与有界sesquilinear form等价，伴随矩阵，有界sesquilinear form的复合

讲义章节：3.3，3.4，3.5.1-3.5.3，3.5.4（部分）
10/14 乘法运算L(V)×L(V)–>L(V)的算子范数⩽1，有界算子的resolvent，有界矩阵与有界sesquilinear form的等价性，乘法结合律涉及的无穷和交换性问题，内积空间的弱收敛，SOT和WOT，SOT收敛的算子的复合，Riesz表示定理与谱理论之关系的初步介绍

讲义章节：3.5.4，3.5，3.6，3.7
10/17 Stieltjes用连分数研究发散级数并定义出Stieltjes积分的历史，多项式矩问题来源于发散级数，Hankel矩阵H及其导出矩阵H’、以及其线性代数意义，Hamburger/Stieltjes/Hausdorff矩问题可解的充要条件，必要条件的证明，Hankel矩阵退化情形利用有限矩阵对角化解矩问题，非退化情形利用Hermitian operator的有限逼近求解（刚做了介绍）

讲义章节：4.1，4.2.1-4.2.5，4.2.6（刚开始）
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