2026 春季, 泛函分析

• 课程时间地点：周二13:30-15:05 周四9:50-11:25 四教4202

• 助教: 张锐翀

• Office hour: 鉴于固定的office hour时间段通常没有同学来，因此本课程不设置固定的office hour。欢迎单独约时间。

• 办公室: 双清综合楼A座C648

• 给分方式: 10%出勤 + 35%作业 + 55%期末

• 作业格式: 中文和英文皆可。每次作业请把所有解答合并为一个单独的pdf文件之后上传到网络学堂-课程作业。为了便于助教批改作业，请不要上传多个文件，请字迹尽量清晰，我们鼓励用LaTeX写作业。网络上很容易找到把多个pdf文件合并为单个文件的网页，例如这个。

• 本课程假设大家了解基本的点集拓扑和测度论结论，这些结论会在课程讲义（见下）的第一章中回顾。这些结论的证明可以在常见的教材中（例如Munkres的拓扑书，Folland或者Rudin的实分析书中）找到。本课程讲义主要引用 Qiuzhen Lectures on Analysis

Lecture notes (in English)

• Qiuzhen Lectures on Functional Analysis

Schedule

课程安排与25年秋季的泛函分析课程大致相当。想要提前了解计划进度的同学可查看该课的课程主页。

• 2/26 课程的两大主题（谱理论与矩问题），矩问题与刻画对偶空间的关联，（多重）线性映射的有界性、连续性、算子范数，有界（多重）线性映射由其在稠密线性子空间上的取值决定

  讲义章节：2.2.1，2.3，2.4（Prop. 2.4.5 之前）

• 2/28 赋范空间的稠密性与其单位闭球的稠密性的关系，一致有界的（多重）线性映射的逐点收敛性由其在稠密子空间上的收敛决定，弱星收敛与逐点收敛的联系（L^p 空间与 l^p 空间中的具体表现形式），有界线性泛函被基本函数弱星逼近，Dirac测度线性组合的弱星稠密性，从有限逼近到线性扩张的转换

  讲义章节：2.2.2，2.2.3，2.4（讲完 Thm. 2.4.6），2.7.1（定理证明请自行阅读），2.8，2.2.4，2.10.2（粗略提到）

• 3/3 对偶空间的完备性，双线性形与线性算子的等价转化与各自优势，完备性在线性算子视角中自然出现，Stieltjes积分，分布函数的几乎相等推出Stieltjes积分相等的等价性，分布函数的几乎收敛推出Stieltjes积分的弱星收敛，序列收敛的拓扑化的意义（拓扑空间公理可以保证逼近的传递性，即闭包的闭包仍然是闭包），网的定义与基本例子，网收敛，eventually和frequently

  讲义章节：2.5，1.9.1，1.9.2（主要是定理1.9.11），2.9.2（主要是定理2.9.6的(a)推(b)），1.2.1，1.2.2（刚讲完网收敛的定义）

  注：关于分布函数和Stieltjes积分的讨论，在课上我们仅限于紧区间的情形。一般无界区间情形的严格理论不做要求，有兴趣的读者可参考讲义。

• 3/5 Cauchy网，拓扑空间的Hausdorff性、闭包、连续映射、同胚的网刻画，乘积拓扑的网收敛刻画，子网，网的聚点（cluster point）的三种等价刻画方式，第一可数空间里序列聚点的刻画方式

  讲义章节：1.2.2，1.4.3（乘积拓扑定义，以及 Thm. 1.4.14），1.2.3，1.3.1（Prop. 1.3.1 讲到一半）

• 3/10 紧拓扑空间的网刻画，第二可数性、Lindelöf、可分的关系，第二可数空间以及度量空间的紧性与列进性等价，网的上下极限，紧空间内网收敛等价于聚点唯一，弱星拓扑，可分赋范空间的对偶空间的单位闭球在弱*拓扑下是第二可数以及可度量的，Banach-Alaoglu定理（可分以及不可分的情况），弱星收敛的Fatou引理，Helly 选择定理，可分赋范空间的对偶空间单位球是弱星可度量/第二可数的（因此是列紧的），sesquilinear form的基本性质

  讲义章节：1.3.1，1.3.2，2.6，2.9.1（只讲了 Helly 选择定理），3.1.1（讲完 Def. 3.1.4）

• 3/12 Hermitian form，内积空间，共轭内积空间，sesquilinear form的算子范数被其二次型的算子范数控制，（标准）正交向量，毕达哥拉斯等式与不等式，Gram-Schmidt，Bessel不等式，正交分解，投影算子，正交直和，标准正交基，无序和，向量被标准正交基的线性组合逼近，无序和的定义，绝对收敛的无序和收敛

  讲义章节：3.1.1，3.1.2，3.2，3.3.1-3.3.4，3.3.4（讲完 Thm. 3.3.24），1.2.5（主要是Def. 1.2.40，Prop. 1.2.46，Exp. 1.2.47）

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