Bin Gui

2026 春季, 泛函分析

Lecture notes (in English)

Schedule

课程安排与25年秋季的泛函分析课程大致相当。想要提前了解计划进度的同学可查看该课的课程主页。

1) 2/26 课程的两大主题（谱理论与矩问题），矩问题与刻画对偶空间的关联，（多重）线性映射的有界性、连续性、算子范数，有界（多重）线性映射由其在稠密线性子空间上的取值决定

讲义章节：2.2.1，2.3，2.4（Prop. 2.4.5 之前）

2) 2/28 赋范空间的稠密性与其单位闭球的稠密性的关系，一致有界的（多重）线性映射的逐点收敛性由其在稠密子空间上的收敛决定，弱星收敛与逐点收敛的联系（L^p 空间与 l^p 空间中的具体表现形式），有界线性泛函被基本函数弱星逼近，Dirac测度线性组合的弱星稠密性，从有限逼近到线性扩张的转换

讲义章节：2.2.2，2.2.3，2.4（讲完 Thm. 2.4.6），2.7.1（定理证明请自行阅读），2.8，2.2.4，2.10.2（粗略提到）

3) 3/3 对偶空间的完备性，双线性形与线性算子的等价转化与各自优势，完备性在线性算子视角中自然出现，Stieltjes积分，分布函数的几乎相等推出Stieltjes积分相等的等价性，分布函数的几乎收敛推出Stieltjes积分的弱星收敛，序列收敛的拓扑化的意义（拓扑空间公理可以保证逼近的传递性，即闭包的闭包仍然是闭包），网的定义与基本例子，网收敛，eventually和frequently

讲义章节：2.5，1.9.1，1.9.2（主要是定理1.9.11），2.9.2（主要是定理2.9.6的(a)推(b)），1.2.1，1.2.2（刚讲完网收敛的定义）

注：关于分布函数和Stieltjes积分的讨论，在课上我们仅限于紧区间的情形。一般无界区间情形的严格理论不做要求，有兴趣的读者可参考讲义。

4) 3/5 Cauchy网，拓扑空间的Hausdorff性、闭包、连续映射、同胚的网刻画，乘积拓扑的网收敛刻画，子网，网的聚点（cluster point）的三种等价刻画方式，第一可数空间里序列聚点的刻画方式

讲义章节：1.2.2，1.4.3（乘积拓扑定义，以及 Thm. 1.4.14），1.2.3，1.3.1（Prop. 1.3.1 讲到一半）

5) 3/10 紧拓扑空间的网刻画，第二可数性、Lindelöf、可分的关系，第二可数空间以及度量空间的紧性与列进性等价，网的上下极限，紧空间内网收敛等价于聚点唯一，弱星拓扑，可分赋范空间的对偶空间的单位闭球在弱*拓扑下是第二可数以及可度量的，Banach-Alaoglu定理（可分以及不可分的情况），弱星收敛的Fatou引理，Helly 选择定理，可分赋范空间的对偶空间单位球是弱星可度量/第二可数的（因此是列紧的），sesquilinear form的基本性质

讲义章节：1.3.1，1.3.2，2.6，2.9.1（只讲了 Helly 选择定理），3.1.1（讲完 Def. 3.1.4）

6) 3/12 Hermitian form，内积空间，共轭内积空间，sesquilinear form的算子范数被其二次型的算子范数控制，（标准）正交向量，毕达哥拉斯等式与不等式，Gram-Schmidt，Bessel不等式，正交分解，投影算子，正交直和，标准正交基，无序和，向量被标准正交基的线性组合逼近，无序和的定义，绝对收敛的无序和收敛

讲义章节：3.1.1，3.1.2，3.2，3.3.1-3.3.4，3.3.4（讲完 Thm. 3.3.24），1.2.5（主要是Def. 1.2.40，Prop. 1.2.46，Exp. 1.2.47）

7) 3/17 Parseval等式，Hilbert空间的等价刻画，无序和收敛的Cauchy判别法，Hilbert空间关于闭线性子空间存在投影算子，线性子空间的二次正交补等于闭包，Riesz-Frechet定理，有界线性算子与有界sesquilinear form等价，伴随矩阵，乘法运算L(V)×L(V)–>L(V)的算子范数⩽1，有界sesquilinear form的乘法，乘法结合律涉及的极限交换问题，有界矩阵与有界sesquilinear form的等价性

讲义章节：3.3.4，3.4，1.2.5（就讲了 Rem. 1.2.41），3.5（3.5.4节关于resolvent的内容忘记讲了，下次课讲），3.6（讲完 Thm. 3.6.3）

8) 3/19 (z-T)^{-1}存在的充分条件，有界矩阵的乘法，乘法结合律涉及到的极限交换问题，内积空间的弱收敛，SOT和WOT，SOT收敛与算子乘法的匹配，Stieltjes用连分数研究发散级数并定义出Stieltjes积分的历史，多项式矩问题来源于发散级数，Pade逼近，Hankel矩阵，刻画Hankel矩阵所对应的sesquilinear form。

讲义章节：3.5.4（Cor. 3.5.16），3.6（Def. 3.6.4到结束），3.7，4.1，4.4（只提到 Thm. 4.4.1 中的连分数），4.2.1，4.2.3（讲完公式(4.9)）

9) 3/24 矩阵H’给出了乘法算子M_x的矩阵表示，Hankel矩阵的sesquilinear form约化到空间内积V，V有限维的情形利用有限矩阵对角化解矩问题，V无限维的情形利用Hermitian operator的有限逼近来给出原矩问题的有有限项解，通过取子列找到原本矩问题的解、以及给出原发散级数的Pade逼近，连分数通过Jacobi矩阵与多项式据联系起来。

讲义章节：4.2.3-4.2.8，4.3.4（只提了Def.4.3.7里J的构造，以及Thm. 4.3.8里(2)推(1)这一结论），4.4（只提到 Thm. 4.4.1 中的连分数与J里的a_n,b_n相同）

10) 3/26 正线性泛函的有界性，稠密子代数上的正线性泛函的唯一扩张，Riesz表示定理的有限逼近证明，Hilbert谱定理，投影算子的代数刻画与几何刻画的等价性，投影算子与闭子空间在偏序关系、正交性、加法和减法方面的等价性，normal positive linear functional，Riesz-Markov表示定理，Radon测度的定义，抽象Hausdorff矩定理，Stone-Weierstrass定理的表述

讲义章节：4.5，5.1，5.2，5.3.1，5.3.2（讲到Cor. 5.3.5的表述），1.7.1，1.5（定理1.5.14不讲）

11.5) 3/31 抽象Hausdorff矩定理，Riesz谱定理的表述，星代数的酉表示，正酉表示，normal酉表示，universal L^2 topology，有界Borel函数代数里的universal L^2-稠密星子代数，算子值抽象Hausdorff矩问题（除保乘法外已证完）

讲义章节：5.3，5.4，5.5.1，5.5.2，5.5.3（讲到 Thm. 5.5.13 证明 Step 4 中间）

注：课程讲义出于完备考虑，不要求LCH空间或紧Hausdorff空间是第二可数的。但实际上，对于这门课的几乎所有目标而言，都可以假设第二可数。此时Radon测度=在紧集上取值有限的Borel measure。讲义上说的泛函以及酉表示的Radon性质都可以替换成normal性质（即满足单调收敛定理）。

12.5) 4/2 算子值抽象Hausdorff矩问题（保乘法的证明），函数的universal L2收敛推出算子的SOT收敛，函数的一致收敛推出算子的算子范数收敛，有界自伴算子的函数演算，Riesz谱定理证明完成，多个可交换有界自伴算子的函数演算，有界算子的adjoint commutativity，正规算子，酉算子是正规算子，测度的support，表示的support，算子可交换推出伴随交换，Borel函数演算限制在support上，伴随交换的有界正规算子的Borel函数演算，联合谱上函数的收敛性推出算子的收敛性，Borel函数演算的复合法则（刚讲完定理陈述）

讲义章节：5.5.3-5.5.5，5.7.1，5.7.2，5.7.3，5.8.1（讲完Thm. 5.8.6的陈述）

14) 4/7 Borel函数演算的复合法则的证明，哑变量规则，联合谱是每个算子的谱的乘积的子集，Borel函数演算刻画特征子空间的投影算子，谱等价于近似特征值，酉算子的谱，Hilbert空间的（无穷）直和，有界算子的直和，Hilbert空间及其有界算子的直和分解

讲义章节：5.8，5.10.1，5.10.2，5.10.3（讲到Example 5.10.14 没讲完）

15) 4/9 酉表示的直和分解，循环表示，每个酉表示都是循环表示的直和，循环表示酉等价于L^2表示，乘法算子形式的谱定理，乘法算子形式中的Borel函数演算和谱的刻画，计算乘法算子的谱与特征值的例子，量子力学的基本数学图景，可观测量谱分解的严格数学形式，谱的量子力学含义（关于任意精度内的测量）

讲义章节：5.10，6.1

16) 4/16 无界算子的四则运算，Hermite算子的基本例子，乘法算子，无界算子的逆算子，处处可定义的有界逆，Cayley变换及其逆变换

讲义章节：6.2，6.3.1，6.3.2（刚讲完 Lemma 6.3.4 以及逆Cayley变换的定义）

注：我们课上提到了 $(M_f)^n=M_{f^n}$ 和 $(M_f)^{-1}=M_{1/f}$，但没有讲细节。请大家自己思考证明过程或阅读讲义上的证明。

17) 4/21 逆Cayley变换把等距映射打到Hermite算子，Hermite算子与等距映射之间的对应关系，无界算子闭包=逆Cayley变换(有界算子在定义域闭包上的延拓)，算子图，闭算子，可闭算子，算子的核，图的Cayley变换，亏指标刻画Hermite算子的扩张

讲义章节：6.3.2，6.3.3，6.4，6.5

18) 4/23 无界算子的伴随，图的伴随，闭包=二次伴随，图稠定=伴随图单值，算子可闭=伴随算子稠定，算子取逆与取伴随交换，Sobolev空间H^1_0与H^1，图内积，自伴算子，刻画Hermite算子的伴随（未讲完）

讲义章节：6.6，6.7.1，6.7.2（Prop. 6.7.5 没讲完）

注：6.6.3节提到了任意阶的Sobolev空间。实际上本课程只会用到1阶Sobolev空间。