2026 秋季, 泛函分析
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课程时间地点：周一13:30-15:05 周三15:20-16:55 四教4304
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助教: 李家琪
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Office hour: 鉴于固定的office hour时间段通常没有同学来，因此本课程不设置固定的office hour。欢迎单独约时间。
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办公室: 双清综合楼A座C648
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给分方式: 40%作业 + 60%期末
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作业格式: 中文和英文皆可。每次作业请把所有解答合并为一个单独的pdf文件之后上传到网络学堂-课程作业。为了便于助教批改作业，请不要上传多个文件，请字迹尽量清晰，我们鼓励用LaTeX写作业。网络上很容易找到把多个pdf文件合并为单个文件的网页，例如这个。
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本课程假设大家了解基本的点集拓扑和测度论结论，这些结论会在课程讲义（见下）的第一章中回顾。这些结论的证明可以在常见的教材中（例如Munkres的拓扑书，Folland或者Rudin的实分析书中）找到。本课程讲义主要引用 Qiuzhen Lectures on Analysis
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可以通过讨论、网上查资料、AI等方式来帮助自己理解课程与作业内容。但作业请大家用自己的理解来独立完成写作。严禁抄袭和照搬他人的作业或者AI的解答。若有查出照搬现成解答或AI解答的作业，当次作业算作0分。
课程讲义
参考教材
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Reed, Simon. Methods of Modern Mathematical Physics, I.
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Simon. Operator Theory, a Comprehensive Course in Analysis IV.
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Van Neerven. Functional Analysis.
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Lax. Functional Analysis.
历史文献（GPT英译）
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- 1894 Stieltjes. Recherches sur les fractions continues. (Researches on Continued Fractions.) tex pdf
在这篇文章中，Stieltjes 通过引入 Stieltjes 积分来刻画连分数的积分表示。Stieltjes 积分（及其现代形式：关于有限 Borel 测度的积分）是描述谱分解和连续谱的关键语言。Stieltjes 的这篇文章展示了这个关键语言是如何出现的。对应讲义章节：4
- 1906 Hilbert. Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, Vierte Mitteilung. (Fundamentals of a General Theory of Linear Integral Equations, Fourth Communication.) tex pdf
在这篇文章中，Hilbert 引入了 Hilbert 空间 $l^2$，引入了有界双线性型和全连续双线性型（对应到现在的有界算子和紧算子）。Hilbert 对全连续对称双线性型证明了（离散的）谱分解定理，即现在所说的 Hilbert-Schmidt 定理。Hilbert 对有界对称双线性型证明了一般的谱定理。对应讲义章节：3，4，5，8
- 1913 F.Riesz. Les systèmes d’équations linéaires à une infinité d’inconnues. (Linear Systems of Equations with Infinitely Many Unknowns.) tex pdf
在第4和5章中，Riesz 利用函数演算和正线性泛函扩张，对 Hilbert 关于有界对称双线性型的谱定理进行了重新诠释和大大加强。现代教科书中对谱理论的处理更加接近 Riesz 的方法。这篇文章是历史上第一次，线性算子的视角被引入并且被发展成系统的理论，以取代双线性型的视角。对应讲义章节：3，5
- 1929 von Neumann. Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren. (General Eigenvalue Theory of Hermitian Functional Operators.) tex pdf
Von Neumann在这篇文章中建立了无界对称算子的谱理论。对应讲义章节：6
Von Neumann 在这篇文章中对（不一定对称的）无界算子引入了闭算子、闭包、可闭、伴随算子等概念及其基本性质。对于闭算子，von Neumann 证明了极分解定理。对应讲义章节：6，7
Schedule
课程安排与26年春季的泛函分析课程大致相当。想要提前了解计划进度的同学可查看该课的课程主页。
1) 9/14 课程的两大主题（谱理论与矩问题），矩问题与刻画对偶空间的关联，（多重）线性映射的有界性、连续性、算子范数，赋范空间的稠密性与其单位闭球的稠密性的关系，有界（多重）线性映射由其在稠密线性子空间上的取值决定
讲义章节：2.2.1，2.3，2.4（Prop. 2.4.5 之前）
2) 9/16 赋范空间的稠密性与其单位闭球的稠密性的关系，一致有界的（多重）线性映射的逐点收敛性由其在稠密子空间上的收敛决定，弱星收敛与逐点收敛的联系，$L^p$ 空间弱星收敛的概念，$l^p$ 的对偶空间刻画以及弱星收敛的等价描述，有界线性泛函被基本函数弱星逼近，从有限逼近到线性扩张的转换
2.2.2，2.2.3，2.4（讲完 Thm. 2.4.6），2.7（2.7.1 节之前的部分），2.8，2.2.4
3) 9/21 对偶空间的完备性，完备性在线性算子视角中自然出现，对偶结构的优点（单位闭球的弱星紧性，实现双线性型与有界算子之间的等价转换），对角线方法推出 l^p空间里的弱星紧性，Stieltjes积分，分布函数在稠密子集上的逐点收敛推出Stieltjes积分的弱星收敛，对角线方法推出分布函数空间的弱*紧性，序列收敛无法决定非第一可数的拓扑，序列收敛的拓扑化的意义（拓扑空间公理可以保证逼近的传递性，即闭包的闭包仍然是闭包），preordered set 和 direct set。
讲义章节：2.4（Thm. 2.4.8 和 Cor. 2.4.9），2.5，1.9.1，2.9.2（主要是定理2.9.6的(a)推(b)），1.2.1（刚讲完定义1.2.2）
注：关于分布函数和Stieltjes积分的讨论，在课上我们仅限于紧区间的情形。一般无界区间情形的严格理论不做要求，有兴趣的读者可参考讲义。
4) 9/23 网的定义与基本例子，网收敛，eventually和frequently，Cauchy网，拓扑空间的Hausdorff性、闭包、连续映射、同胚的网刻画，乘积拓扑的网收敛刻画，子网，网的聚点（cluster point）的三种等价刻画方式（没讲完）
讲义章节：1.2.1，1.2.2，1.4.3（乘积拓扑定义，以及 Thm. 1.4.14），1.2.3（Thm. 1.2.29 的证明里除了(2)推(1)以外已讲完）
5) 9/28 网的聚点（cluster point）的三种等价刻画方式，第一可数空间里序列聚点的刻画方式，紧拓扑空间的网刻画，第二可数与可分的关系，网的上下极限，紧空间内网收敛等价于聚点唯一，弱星拓扑，弱星收敛的Fatou引理，可分赋范空间的对偶空间的单位闭球在弱*拓扑下是第二可数以及可度量的，Banach-Alaoglu定理（可分以及不可分的情况），sesquilinear form的基本性质
讲义章节：1.2.3，1.3.1（从 Prop. 1.3.5 开始的部分课上没细讲，请自行阅读），1.3.2（Prop. 1.3.12 可跳过），2.6（可分情形的讨论用到了 Prop. 1.4.16），3.1.1（讲完 Def. 3.1.4）
6) 9/30 Hermitian form，positive sesquilinear form，内积空间，线性与反线性的等距映射，酉算子与反酉算子，共轭内积空间，sesquilinear form转化为双线性型，sesquilinear form的算子范数被其二次型的算子范数控制，（标准）正交向量，毕达哥拉斯等式与不等式，Bessel不等式，正交分解，投影算子，关于有限维子空间的投影算子表达式，标准正交基，正交直和，投影算子的标准型，子集的正交补，$E^\perp=(\mathrm{Span}E)^\perp=\overline{(\mathrm{Span}E)}^\perp$
讲义章节：3.1.1，3.1.2，3.2，3.3.1-3.3.4，3.3.4（讲到 Thm. 3.3.24 之前），1.2.5（局限于正函数的情形，刻画了 $\sum f$ 的等价描述，讲了 Prop. 1.2.45）
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