Bin Gui

2026 秋季, 泛函分析

课程讲义

参考教材

  • Reed, Simon. Methods of Modern Mathematical Physics, I.

  • Simon. Operator Theory, a Comprehensive Course in Analysis IV.

  • Van Neerven. Functional Analysis.

  • Lax. Functional Analysis.

历史文献（GPT英译）

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  • 1894 Stieltjes. Recherches sur les fractions continues. (Researches on Continued Fractions.) tex pdf

在这篇文章中，Stieltjes 通过引入 Stieltjes 积分来刻画连分数的积分表示。Stieltjes 积分（及其现代形式：关于有限 Borel 测度的积分）是描述谱分解和连续谱的关键语言。Stieltjes 的这篇文章展示了这个关键语言是如何出现的。对应讲义章节：4

  • 1906 Hilbert. Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, Vierte Mitteilung. (Fundamentals of a General Theory of Linear Integral Equations, Fourth Communication.) tex pdf

在这篇文章中，Hilbert 引入了 Hilbert 空间 $l^2$，引入了有界双线性型和全连续双线性型（对应到现在的有界算子和紧算子）。Hilbert 对全连续对称双线性型证明了（离散的）谱分解定理，即现在所说的 Hilbert-Schmidt 定理。Hilbert 对有界对称双线性型证明了一般的谱定理。对应讲义章节：3，4，5，8

  • 1913 F.Riesz. Les systèmes d’équations linéaires à une infinité d’inconnues. (Linear Systems of Equations with Infinitely Many Unknowns.) tex pdf

在第4和5章中，Riesz 利用函数演算和正线性泛函扩张，对 Hilbert 关于有界对称双线性型的谱定理进行了重新诠释和大大加强。现代教科书中对谱理论的处理更加接近 Riesz 的方法。这篇文章是历史上第一次，线性算子的视角被引入并且被发展成系统的理论，以取代双线性型的视角。对应讲义章节：3，5

  • 1927 von Neumann. Mathematische Begründung der Quantenmechanik. (Mathematical Foundation of Quantum Mechanics.) tex pdf

这是 von Neumann 尝试系统性地给出量子力学的严格数学理论的首篇文章，也是下面的 1929 年关于无界对称算子谱理论的论文的先声。在这篇文章中，von Neumann 已经展现了他对描述量子力学可观测量的无界对称算子的谱分解应该长什么样的想法。抽象的 Hilbert 空间概念也是在这篇文章里给出的（在此之前，Hilbert 空间指的是 $l^2$）。对应讲义章节：3，6

  • 1929 von Neumann. Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren. (General Eigenvalue Theory of Hermitian Functional Operators.) tex pdf

Von Neumann在这篇文章中建立了无界对称算子的谱理论。对应讲义章节：6

  • 1932 von Neumann. Über adjungierte Funktionaloperatoren. (On adjoint functional operators.) tex pdf

Von Neumann 在这篇文章中对（不一定对称的）无界算子引入了闭算子、闭包、可闭、伴随算子等概念及其基本性质。对于闭算子，von Neumann 证明了极分解定理。对应讲义章节：6，7

  • 1932 von Neumann. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. (Mathematical Foundations of Quantum Mechanics.) tex pdf （中译文 tex pdf）

Von Neumann 关于量子力学的数学理解的系统诠释。注意本书和 1927 年的论文不是同一个文献，德语名和英译名都有细微差别。对应讲义章节：3，6

Schedule

课程安排与26年春季的泛函分析课程大致相当。想要提前了解计划进度的同学可查看该课的课程主页。

1) 9/14 课程的两大主题（谱理论与矩问题），矩问题与刻画对偶空间的关联，（多重）线性映射的有界性、连续性、算子范数，赋范空间的稠密性与其单位闭球的稠密性的关系，有界（多重）线性映射由其在稠密线性子空间上的取值决定

讲义章节：2.2.1，2.3，2.4（Prop. 2.4.5 之前）

2) 9/16 赋范空间的稠密性与其单位闭球的稠密性的关系，一致有界的（多重）线性映射的逐点收敛性由其在稠密子空间上的收敛决定，弱星收敛与逐点收敛的联系，$L^p$ 空间弱星收敛的概念，$l^p$ 的对偶空间刻画以及弱星收敛的等价描述，有界线性泛函被基本函数弱星逼近，从有限逼近到线性扩张的转换

2.2.2，2.2.3，2.4（讲完 Thm. 2.4.6），2.7（2.7.1 节之前的部分），2.8，2.2.4

3) 9/21 对偶空间的完备性，完备性在线性算子视角中自然出现，对偶结构的优点（单位闭球的弱星紧性，实现双线性型与有界算子之间的等价转换），对角线方法推出 l^p空间里的弱星紧性，Stieltjes积分，分布函数在稠密子集上的逐点收敛推出Stieltjes积分的弱星收敛，对角线方法推出分布函数空间的弱*紧性，序列收敛无法决定非第一可数的拓扑，序列收敛的拓扑化的意义（拓扑空间公理可以保证逼近的传递性，即闭包的闭包仍然是闭包），preordered set 和 direct set。

讲义章节：2.4（Thm. 2.4.8 和 Cor. 2.4.9），2.5，1.9.1，2.9.2（主要是定理2.9.6的(a)推(b)），1.2.1（刚讲完定义1.2.2）

注：关于分布函数和Stieltjes积分的讨论，在课上我们仅限于紧区间的情形。一般无界区间情形的严格理论不做要求，有兴趣的读者可参考讲义。

4) 9/23 网的定义与基本例子，网收敛，eventually和frequently，Cauchy网，拓扑空间的Hausdorff性、闭包、连续映射、同胚的网刻画，乘积拓扑的网收敛刻画，子网，网的聚点（cluster point）的三种等价刻画方式（没讲完）

讲义章节：1.2.1，1.2.2，1.4.3（乘积拓扑定义，以及 Thm. 1.4.14），1.2.3（Thm. 1.2.29 的证明里除了(2)推(1)以外已讲完）

5) 9/28 网的聚点（cluster point）的三种等价刻画方式，第一可数空间里序列聚点的刻画方式，紧拓扑空间的网刻画，第二可数与可分的关系，网的上下极限，紧空间内网收敛等价于聚点唯一，弱星拓扑，弱星收敛的Fatou引理，可分赋范空间的对偶空间的单位闭球在弱*拓扑下是第二可数以及可度量的，Banach-Alaoglu定理（可分以及不可分的情况），sesquilinear form的基本性质

讲义章节：1.2.3，1.3.1（从 Prop. 1.3.5 开始的部分课上没细讲，请自行阅读），1.3.2（Prop. 1.3.12 可跳过），2.6（可分情形的讨论用到了 Prop. 1.4.16），3.1.1（讲完 Def. 3.1.4）

6) 9/30 Hermitian form，positive sesquilinear form，内积空间，线性与反线性的等距映射，酉算子与反酉算子，共轭内积空间，sesquilinear form转化为双线性型，sesquilinear form的算子范数被其二次型的算子范数控制，（标准）正交向量，毕达哥拉斯等式与不等式，Bessel不等式，正交分解，投影算子，关于有限维子空间的投影算子表达式，标准正交基，正交直和，投影算子的标准型，子集的正交补，$E^\perp=(\mathrm{Span}E)^\perp=\overline{(\mathrm{Span}E)}^\perp$

讲义章节：3.1.1，3.1.2，3.2，3.3.1-3.3.4，3.3.4（讲到 Thm. 3.3.24 之前），1.2.5（局限于正函数的情形，刻画了 $\sum f$ 的等价描述，讲了 Prop. 1.2.45）

7) 10/12 向量被标准正交基的线性组合逼近，无序和的定义与Cauchy判别法，Parseval等式，Hilbert空间的等价刻画，Hilbert空间关于闭线性子空间存在投影算子，线性子空间的二次正交补等于闭包，Riesz-Frechet定理，有界线性算子与有界sesquilinear form等价，伴随算子，$\Vert TS\Vert\leq\Vert T\Vert\cdot\Vert S\Vert$，条件 $\vert T\vert<\vert z\vert$ 推出 $(z-T)^{-1}$ 存在，有界sesquilinear form的乘法，乘法结合律涉及的极限交换问题，无限矩阵及其算子范数的定义

讲义章节：3.3.4，3.4，1.2.5（就讲了 Def. 1.2.40 和 Rem. 1.2.41），3.5，3.6（就讲了定义 3.6.1）

8) 10/14 有界矩阵与有界sesquilinear form的等价性，有界矩阵的乘法，乘法结合律涉及到的极限交换问题，内积空间的弱收敛，SOT和WOT，SOT收敛与算子乘法的匹配，Stieltjes用连分数研究发散级数并定义出Stieltjes积分的历史，多项式矩问题来源于发散级数，Pade逼近，Hankel矩阵，刻画Hankel矩阵所对应的sesquilinear form

讲义章节：3.6，3.7，4.1，4.4（只提到 Thm. 4.4.1 中的连分数），4.2.3（讲完公式(4.9)）

9) 10/19 矩阵$H’$给出了乘法算子M_x的矩阵表示，Hankel矩阵的sesquilinear form约化到空间内积V，V有限维的情形利用有限矩阵对角化解矩问题，V无限维的情形利用Hermitian operator的有限逼近来给出原矩问题的有有限项解，通过取子列找到原本矩问题的解、以及给出原发散级数的Pade逼近，连分数通过Jacobi矩阵与多项式据联系起来。

讲义章节：4.2.3-4.2.8，4.3.4（只提了Def.4.3.7里J的构造，Thm. 4.3.8的陈述），4.4（只提到 Thm. 4.4.1 中的连分数与J里的a_n,b_n相同）

注：讲义里 Pade approximation 是第 0~2n+1 项和原本系数相同。我们课上出于简化讨论（以及简化 Rem. 4.2.16 的证明）的目的，只讲了第 0~n 项和原本系数相同。这对于理解本章主题已经足够。

10) 10/21 正线性泛函的有界性，稠密子代数上的正线性泛函的唯一扩张，Riesz表示定理的有限逼近证明，Hilbert谱定理，投影算子的代数刻画与几何刻画的等价性，投影算子与闭子空间在偏序关系、正交性、加法和减法方面的等价性，normal positive linear functional，Riesz-Markov表示定理（测度版本与线性扩张版本）

讲义章节：4.5，5.1，5.2，5.3.1，5.3.2（讲完Thm . 5.3.4）

注：我们课上只讲了第二可数LCH空间上的finite Borel测度。如果拿掉第二可数条件，并且不要求测度是有限的，相应的概念是所谓的Radon measure。课程讲义出于完备考虑，很多命题是对于LCH空间上的Radon measure讨论的。大家阅读的时候可以都假设是第二可数LCH空间上的finite Borel测度。

注：讲义出于完备性，允许field $\mathbb F$ 或 $\mathbb K$ 取复数域和实数域。大家阅读讲义的时候可以把 $\mathbb F$ 和 $\mathbb K$ 都当作复数域 $\mathbb C$。

11) 10/26 抽象Hausdorff矩定理，Stone-Weierstrass定理的表述，Riesz谱定理的表述，星代数的酉表示，正酉表示，normal酉表示，universal L^2 topology，有界Borel函数代数里的universal L^2-稠密星子代数

讲义章节：1.5（定理1.5.14不讲），5.3，5.4，5.5.1，5.5.2，5.5.3（刚介绍完定理5.5.13的陈述）

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